Arkipäivän puheessa symmetrialla viitataan usein jonkinlaiseen sopusuhtaisuuden ja kauneuden käsitteeseen. Symmetria luokin useimmissa ihmisissä positiivisia assosiaatioita. Historian aikana symmetrian käsite on liitetty niin täydelliseen kauneuteen kuin jumalalliseen harmoniaankin. Pythagoralaiset pitivätkin ympyrää ja palloa täydellisimpiä mahdollisina muotoina niiden kiertosymmetrian ansiosta. Toisaalta symmetria voidaan rajata tiukemmin tarkoittamaan nimenomaan matemaattisesti määriteltyä symmetriaa. (Weyl 1999: 13-16)
Symmetria on kuulunut ihmisen käsitteistöön kautta aikojen. Se tuntuu olevan melko luonnollinen tapa järjestää todellisuutta. Weyl (1999: 17) jopa pohtii symmetrian asemaa filosofisista lähtökohdista: Onko ihminen kopioinut ja hionut symmetrian täydellisyyteen luonnossa esiintyvistä symmetrian muodoista vai onko myös luonnon symmetrisyyden taustalla matemaattiset lait, jotka sitä hallitsevat? Toisaalta esimerkiksi Diab (1994) sanoo, etteivät symmetriset kuviot ole luonnon perustavanlaatuisia lakeja, vaan niiden aseman korostaminen juontuu kulttuuritaustastamme.
Usein symmetriaa tulee pidettyä itsestäänselvyytenä. Ympäristön ja varsinkin ihmisten tekemien rakenteiden ja esineiden symmetrisyys on oletettua. Siksi epäsymmetria onkin usein hätkähdyttävä piirre, joka heti vetää huomiomme puoleensa. Luonnossa symmetria ei ole matemaattisen täydellistä, mutta selkeät erot normaalista ovat usein huomiota herättäviä. Esimerkiksi kala, jolla on silmät ja väritys vain toisella puolella muuten normaalin näköistä ruumista, vaikuttaa melko kummallisen näköiseltä (kuva 2). Ihmisten kasvot voivat olla enemmän tai vähemmän symmetriset. Tutkimusten mukaan kasvot koetaan sitä kauniimmiksi mitä symmetrisemmät ne ovat. Da Vincin kuuluisa kuva ihmisen symmetriasta kiteyttää melko hyvin ihanteellisen ihmisruumiin, joka on täysin symmetrinen.
Symmetrian tyypit tasossa voidaan kolmeen perussymmetriatyyppiin, joiden yhdistelmistä voidaan johtaa kaikki muut symmetriat (Mumford & Series & Wright 2002: 1-10):
Kappaletta voidaan sanoa symmetriseksi, jos siinä on yksikin symmetria. Symmetria säilyttää etäisyydet, kulmien suuruudet, koot ja muodot. Translaatiossa kohdetta siirretään. Siirrolla on aina suunta ja etäisyys. Heijastuksella tarkoitetaan peilikuvan tuottamista kohteesta. Heijastus muuttaa kohteen kätisyyden. Kierrossa kohdetta kierretään tietyn kulman verran kierron keskipisteen ympäri. Nämä operaatiot voidaan yleistää koskemaan myös avaruuden symmetrioita. (Addington s.a.)
Kappaleella on symmetria, jos se pysyy muuttumattomana tiettyjen muunnosten kuten rotaation tai heijastuksen suorittamisen jälkeen. Symmetriaa tutkii matematiikan alue nimeltään ryhmäteoria. Ryhmäteorialla on tärkeä rooli fysiikassa, erityisesti kvanttimekaniikassa. (Weisstein 1999b) Ryhmäteorian kehityksen laittoi liikkeelle ranskalainen matemaatikko Évariste Galois 1800-luvun alussa (Weisstein 1999a). Felix Klein (1849 - 1925) mullisti matematiikan suhtautumisen symmetriaan. Hän esitti, että geometriaa tulisi pitää tietyn muunnosryhmän alla muuttumattomina pysyvien avaruuden ominaisuuksien tarkasteluna. Hänen mielestään geometriaan kuului kappaleiden lisäksi myös liike, joka saattaa venyttää tai kiertää kappaleita. Klein yhdisti nämä kaksi ideaa samanlaisista tai symmetrisistä kappaleista ja muunnoksista käyttämällä ryhmän käsitettä. Ryhmien avulla voidaan kuvata kaikki mahdolliset symmetrian muodot. Ryhmät kuvaavat symmetrian toistuvuutta määräävät säännöt. (Mumford & Series & Wrigth 2002: 1-10)
Automorfismi on Weylin (1999: 55) mukaan muunnos eli transformaatio, joka "jättää avaruuden rakenteen muuttumattomaksi". Geometriassa vastaava käsite on similariteetti. Identiteetti eli kuvaus, joka kuvaa jokaisen pisteen p itselleen, on tietysti automorfismi. Jos kuvaus on automorfismi, on myös sen inversio. Samoin kahden automorfismin yhdistelmä on myös automorfismi. Automorfismit muodostavat ryhmän. Tässä Weyl tarkoittaa ryhmällä vain transformaatioryhmiä. Tällaisen ryhmän aliryhmän muodostavat ne similariteetit eli automorfismit, jotka eivät muuta kappaleen mittakaavaa. Näitä kutsutaan kongruensseiksi. Aito kongruenssi ei muuta kappaleen kätisyyttä kuten epäaito tekee. Aidot kongruenssit ovat siis liikettä ja epäaidot heijastuksia. Pisteen O paikalleen jättävä kongruenssi on kierto O:n suhteen. (Weyl 1999: 55-57) Kierrot voidaan jakaa kahteen ryhmään. 360 asteen pyörähdyksen murto-osasta &alpha muodostuvan aidon kierron toistosta koostuvaa ryhmää kutsutaan sykliseksi ryhmäksi C_n. Ensimmäisen ryhmän kiertojen ja kulmien ½ &alpha määräämien n akselin suhteen tapahtuvien heijastuksien ryhmä on diedraaliryhmä D_n. (Weyl 1999: 80)
Näiden käsitteiden avulla voidaan määritellä kappaleen symmetria. Ryhmä T kuvaa avaruuden rakenteen F symmetrian täydellisesti, jos T koostuu F:n muuttumattomiksi jättävistä automorfismeista. Weyl ottaa esimerkiksi ympyrän sisälle piirretyn tähden. Kuvio kuvautuu itselleen keskipisteen suhteen tapahtuvissa kulman 360°/5 suuruisissa aidoissa kierroissa sekä lisäksi tähden kärkien ja keskipisteen kautta kulkevien suorien suhteen tapahtuvissa heijastuksissa. Näin näiden kymmenen operaation muodostama ryhmä määrittää kuvion symmetrian.
Kuva 1. Pentagrammin symmetrisyyden voi esittää ryhmän avulla. (Lähde)
Yksi tärkeä symmetrioiden ryhmä on aitojen kiertojen äärelliset ryhmät. Tasossa nämä ryhmät muodostuvat kulman &alpha = 360°/n suuruisista kierroista. Yksinkertaisimpia tällaisia kuvioita ovat n-sivuiset monikulmiot. Kolmiulotteisessa avaruudessa säännöllisiä monitahokkaita ei kuitenkaan ole kuin viisi. Nämä Platonin kappaleiksi kutsutut monitahokkaat ovat säännöllinen tetraedri, kuutio, oktaedri, dodekaedri (tahkoina 12 säännöllistä viisikulmiota) ja ikosaedri (tahkoina 20 tasasivuista kolmiota). (Weyl 1999: 89-90)
Biologiassa symmetrialla tarkoitetaan eliön osien koon, muodon ja suhteellisen sijainnin vastaavuutta. Luonnossa esiintyy neljää erilaista symmetrian lajia: pallosymmetria, radiaalinen eli kiertosymmetria, bilateraalinen eli vasemman ja oikean välinen symmetria (heijastus) ja biradiaalinen eli samanaikaisesti bilateraalinen ja kiertosymmetria. Joissakin eläimissä kuten ameboissa ja pesusienissä ei ole havaittavissa mitään symmetriaa, mutta suurin osa eläimistä, ihminen mukaan lukien, ovat jollakin tapaa symmetrisiä. Ulkomuodon symmetrialla ei kuitenkaan yleensä ole kovinkaan paljon tekemistä sisäisen anatomian kanssa. (Encyclopædia Britannica, 2005) Esimerkiksi ihmisen suoliston mutkat ja niiden asettuminen ovat täysin epäsymmetrisiä.
Yleisin symmetrian muoto eläimissä on bilateraalinen symmetria. Sillä tarkoitetaan, että yksi taso jakaa eliön kahteen suurin piirtein symmetriseen puolikkaaseen pitkittäissuunnassa. Selkä- ja mahapuoli eivät ole symmetrisiä. (Encyclopædia Britannica, 2005) Matemaattisesti ilmaistuna bilateraalisen symmetrian määrittelevä operaatio on heijastus (Weyl 1999: 60). Bilateraalia symmetriaa esiintyy suurimmassa osassa eliöitä, esimerkiksi hyönteisissä ja nisäkkäissä. On kuitenkin olemassa esimerkiksi kaloja, jotka eivät ole bilateraaleja. Litteillä merikaloilla kuten esimerkiksi kampelalla ja ruijanpallaksella on väritys ja molemmat silmät toisella puolella ruumista.
Kuva 2. Litteä merikala, joka ei ole bilateraalisesti symmetrinen.(Lähde)
Bilateraalia symmetriaa aikaisemmin on ilmeisesti kehittynyt kiertosymmetria, jota tavataan onteloeläimillä kuten meduusa ja piikkinahkaisilla kuten esimerkiksi meritähti. Kiertosymmetriassa eliö on muodoltaan sylinterimäinen tai maljamainen ja sen ruumis levittyy keskiakselin ympärille säteittäisesti. Biradiaalisesti symmetrinen eläin voidaan jakaa kahden tason, poikittaisen ja pitkittäisen, avulla symmetrisiin osiin. Kampamaneetit ovat tällä tavoin symmetrisiä. Pallosymmetrisen eläimen täytyy olla hyvin pieni, koska pallomuodossa sisäelinten osuus on niin suuri verrattuna ulkopinta-alaan, etteivät kookkaammat ja monimutkaisemmat eliöt ole mahdollisia. Ainoastaan jotkut alkueläimet ovat pallosymmetrisiä. (Encyclopædia Britannica, 2005)
Myös botaniikassa symmetriat ovat yleisiä. Monien kukkien terälehtien sijoittuminen on klassinen esimerkki symmetriasta. Kukat voivat olla kierto- tai bilateraalisymmetrisiä. Bilateraalisesti symmetrisiä eli tsygomorfisia kukkia pidetään kiertosymmetrisiä eli aktinomorfisia kehittyneempinä. Bilateraalinen muoto mahdollistaa muun muassa kukan erikoistumisen eläinpölyttäjiin. (John Innes Center s.a.) Esimerkiksi alla näkyvä elämänlanka (Ipomoea pes-caprae) on kiertosymmetrinen ja viisilukuinen. Mistä tahansa viidestä terälehden keskellä kulkevasta sakarasta piirretty viiva halkaisee kukan kahteen symmetriseen osaan. Viisilukuinen symmetria onkin varsin tyypillinen piirre orgaanisessa maailmassa (Weyl 1999: 77).
Kuva 3. Kiertosymmetrinen elämänlanka. (Lähde)
Symmetria ei ole vain nähtävissä olevien kappaleiden ominaisuus. Hilat koostuvat alkeiskopeista, jotka ovat atomien geometrisia järjestelyjä. Kiteiden omaisuudet liittyvät juuri symmetriaan, jonka mukaan atomit ovat järjestäytyneet hilassa. Kiderakenteiden perussymmetrioita ovat siirto- ja kiertosymmetria. Kiteen hilalla ei kuitenkaan voi koskaan olla viisilukuista kiertosymmetriaa, sillä viisisivuiset muodot eivät sovi saumattomasti yhteen joka suuntaan. Tämän takia kiteissä ei esiinny viisilukuisuutta, vaan kertalukujen 2, 3, 4 ja 6 kiertosymmetrisyyttä. (Britannica Student Encyclopedia, 2005) Lumihiutaleet ovat hyvä esimerkki kuusilukuisesta symmetriasta.
Varhaisimmista löydetyistä taiteen ilmentymistä lähtien on symmetria ollut osa ihmisen luomia teoksia. Aikaisimmissa teoksissa symmetrian käyttö ei välttämättä ollut täysin tietoista, vaan juontui kuvattavien kohteiden symmetrioista. Sumerilaiset käyttivät paljon tiukkaa bilateraalista symmetriaa. Esimerkiksi noin 2700 eaa. hallinneen Lagashin kuninkaan Entemenan hopeamaljan kyljessä on symmetrisesti sommiteltu kuva, jossa on suoraan edestäpäin kuvattu kotka. Kotka tarttuu jaloillaan oikealla ja vasemmalla puolella oleviin sivulta kuvattuihin hirviin. Symmetria-akseli siis kulkee kotkan läpi. Myöhemmin kotkan symmetrisyyttä korostettiin vielä enemmän luonnollisen kuvaamisen kustannuksella - sille tehtiin kaksi eri suuntiin katsovaa päätä. Kaksipäinen kotka on säilynyt erityisesti heraldiikassa näihin päiviin asti. (Weyl 1999: 17-19) Symmetriaa esiintyy kaikessa taiteessa, jossa on myös kompositioita. Esimerkiksi maalaustaiteessa kuvan sommittelun apuna käytetään hyvin usein symmetrisiä geometrisia muotoja, vaikka ne jäävätkin ikään kuin maalauksen taakse. Symmetria luo maalaukseen tasapainoa. Esimerkiksi kristillisiä aiheita kuvaavissa maalauksissa, freskoissa ja mosaiikeissa nähdään usein asetelma, jossa keskushenkilön molemmille sivuille on asetettu esimerkiksi enkeleitä tai apostoleja symmetrisesti. Aina asetelma ei ole täysin symmetrinen, mutta silloinkin siinä säilyy symmetrian idea kokonaisuuden kannalta.
Ornamentit ovat tyypillinen symmetrian ilmentymä. Nauhaornamentit voivat olla kahta eri tyyppiä poikittaiskuvioinnin perusteella. Ornamentissa kuvio toistua samana niin, että se tuottaa niin sanotun äärettömän toiston. Ornamentissa kostuu siis yhden perussiirron a monikerroista na. Siirtoon voidaan myös yhdistää heijastus. Tällöin heijastuskeskukset toistuvat ½a välein. (Weyl 1999: 60-61) Ornamentit voivat myös ottaa käyttöönsä pitkittäissuuntaisen akselin. Kuvassa olevassa ornamentissa kuviointi perustuu siirtoon ja heijastukseen. Perussiirto on kahden kuvion pituinen, sillä vierekkäiset kuviot ovat hiukan erilaisia. Ornamentissa on heijastus myös longitudinaalisesti.
Kuva 4. Heijastukseen ja siirton perustuva ornamentti. (Lähde)
Arkkitehtuurissa symmetria on ollut aina läsnä kaikissa kulttuureissa. Arkkitehtuurissa erikoista on sen spatiaalisuus. Kolmiulotteisien kohteiden symmetrioita on vaikeampi havaita kuin kaksiulotteisien. Kolmiulotteisuuden lisäksi arkkitehtuurin symmetrioita monimutkaistaa se, että sen voi konkreettisesti kokea menemällä rakennuksen läpi. Arkkitehtuurissa onkin tärkeää myös tyhjän tilan muotoilu. Rakennustaiteen yleisimmät symmetriatyypit ovat bilateraali- ja translaatiosymmetria. Kierto- ja heijastussymmetriaa esiintyy esimerkiksi kupoleissa, jotka voivat olla puolipallon muotoisia tai kahdeksankulmaisia. Sylinterisymmetria on tyypillistä torneissa ja pilareissa, mutta pallosymmetriaa esiintyy hyvin vähän, koska se on vaikea muoto arkkitehtonisesti. Similaarisymmetrialla tarkoitetaan saman muodon toistumista erikokoisena. Esimerkkinä tästä on Sidneyn oopperatalo, jossa toistuu sama muoto erikokoisena ja eri asennoissa. Similaarisymmetrian erikoistapauksena voidaan pitää kierresymmetriaa. Esimerkiksi kierreportaissa ja Frank Lloyd Wrightin suunnittelemassa Guggenheimin museossa on kierresymmetriaa. Kiraalisymmetria ei ole yhtä tunnettu symmetrian muoto kuin edellä esitellyt, mutta se on melko yleinen arkkitehtuurissa. Kiraalisymmetrian muodostavat kaksi kappaletta, jotka ovat toistensa peilikuvia ja joita ei voida asettaa samaan asentoon päällekkäin. Kätemme ovat esimerkki kiraalisymmetriasta. Arkkitehtuurissa kiraalisymmetrian voi havaita esimerkiksi Vatikaanissa Pietarinkirkon aukiota reunustavissa pylväiköissä.
Esimerkiksi Taj Mahalissa on paljon erilaisia symmetrioita. Kuvassa näkyy selkeästi vertikaalinen symmetria-akseli. Itse mausoleumi minareetteineen on täyin samanlainen keskiakselin molemmin puolin. Lisäksi etualan heijastus veteen toistaa rakennuksen kuvan ja näin muodostuu horisontaalinen symmetria-akseli. Taj Mahalin symmetriat eivät suinkaan lopu tähän. Pohjapiirroksesta näkyy, että koko Taj Mahalin alue on symmetrinen. Oikeassa laidassa on mausoleumi, jonka pohjapiirros on lähes neliosaisesti kiertosymmetrinen. Sen molemmin puolin sijoittuvat moskeija ja vierastalo, joka rakennettiin ainoastaan symmetrian säilyttämiseksi. Iso puutarha-alue jakautuu symmetrisesti neljään osaan, joita erottavat vesikanaalit. Nämä neljä osaa jakautuvat edelleen similariteettisymmetrian mukaisesti pienempiin neliöihin. Mausoleumin kupolit ovat kierresymmetrisiä. Lisäksi rakennuksessa on lukemattomia ornamentteja ja muita yksityiskohtia, jotka hyödyntävät symmetriaa.
Kuva 5. Taj Mahal. (Lähde)
Kuva 6. Taj Mahalin pohjapiirros. (Lähde)
Addington, Susan. toimittanut Alejandre, Suzanne. Sine anno. The Four Types of Symmetry in the Plane. (online) [Viitattu 15.2.2005] Saatavissa: http://mathforum.org/sum95/suzanne/symsusan.html
Britannica Student Encyclopedia. Atomic particles. Encyclopædia Britannica Online. 2005. [Viitattu 15.2.2005] Saatavissa (rajoitettu saatavuus): http://search.eb.com/ebi/article?tocId=196877
Britannica Student Encyclopedia. Crystals. Encyclopædia Britannica Online. 2005. [Viitattu 16.2.2005] Saatavissa (rajoitettu saatavuus): http://search.eb.com/ebi/article?tocId=199357
Diab, Salim M. 1994. Asymmetry: A Hidden Beauty Within Symmetry. (online) [Viitattu 15.2.2005] Saatavissa: http://www.stfrancis.edu/ns/diab/Symmetry/SYMMPresent1.PPT
John Innes Center. Sine anno. The Invisible Colours of Flowers, Determining flower symmetry. (online) [Viitattu 15.2.2005] Saatavissa: http://www.jic.bbsrc.ac.uk/chelsea/flower_symmetry.htm
Mumford, David & Series, Caroline & Wright, David. 2002. Indra's Pearls: the vision of Felix Klein. Cambridge. Cambridge University Press. 395 s. ISBN 0-521-35253-3. Käytetty näyte saatavilla: http://assets.cambridge.org/052135/2533/excerpt/0521352533_excerpt.pdf [Viitattu 16.2.2005]
Encyclopædia Britannica. Symmetry. Encyclopædia Britannica Online. 2005 Saatavissa (rajoitettu saatavuus): http://search.eb.com/eb/article?tocId=9070722 [Viitattu 15.2.2005]
Weisstein, Eric W. 1999. Group Theory. (online) MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Viitattu 15.2.2005] Saatavissa: http://mathworld.wolfram.com/GroupTheory.html
Weisstein, Eric W. 1999. Symmetry. (online) MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Viitattu 15.2.2005] Saatavissa: http://mathworld.wolfram.com/Symmetry.html
Weyl, Hermann. 1999. Symmetria. Helsinki. Hakapaino. 188 s. ISBN 952-5202-16-X.
Williams, Kim. 1998. Symmetry in Architecture. (online) [Viitattu 16.2.2005] Saatavissa: http://members.tripod.com/vismath/kim/
